いろいろ教えてもらって、いろいろ修正です。
結論としては、iPhone POPメールはちゃんとできる子でした。
手動でシンクロ
ちゃんとできますね。左下のシンクロボタンがそのようです。
まとめて削除・移動
メールリスト画面の右上、「編集」を押せばまとめてメールの削除や移動ができます。削除したいメールを選んでいって最後の削除ボタンで消すことができました。
アカウントごとに、定期受信
設定の接続のところにこの設定がありました。
メールの定期受信であるフェッチがありました。フェッチでは15分ごと、30分ごと、1時間ごとのいずれかの時間ごとにメールをチェックしてくれます。アカウントごとに手動・フェッチのどちらかを選ぶことができます。

また、確認したところでは Exchenge Server との連携の場合、メール着信時にメールを撮ってくる「プッシュ」も選ぶことができました。
フェッチの時間感覚のバリエーションが少ないとか、アカウントごとに時間を変えられないなどはありますが、そこまで設定している人も少ないと思うのでこれはほぼ完ぺきといっていいでしょうね。
なので、たいへんよくできました
iPhoneのメールの視認性は高く、そこからリンク先をブラウザで開くときもシームレスで気持ち良く開きます。ここまで機能があれば、複数アカウントもちゃんと管理ができます。
まぁ、どうしてもアカウント間の移動が面倒なのが残念ですが。
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